Im letzten Video haben wir uns mit der Stabilitätsanalyse für lineare dynamische

Systeme beschäftigt und wir haben insbesondere uns angeschaut, wann eine Ruhelage eines

linearen dynamischen Systems existiert und eindeutig ist und mit welcher Hilfe man

feststellen kann, ob es sich hierbei um eine asymptotisch stabile Ruhelage handelt oder um

eine instabile. Dabei haben wir festgestellt, dass das ganze maßgeblich vom größten Eigenwert der

koeffizienten Matrix A abhängt und das hat uns sozusagen ein Werkzeug gegeben, um zu entscheiden,

ob solch ein lineares dynamisches System sich kontrahiert gegen solch eine Ruhelage oder

divergiert und Lösungen sozusagen davon wegstreben. Jetzt ist es im Allgemeinen leider so,

dass viele spannende Probleme in der Biologie oder auch in der Physik nicht durch ein lineares

dynamisches System gegeben sind, sondern durch ein allgemeines, möglicherweise nicht lineares

System und die Frage ist, wie wir die Ergebnisse aus dem letzten Video übertragen können auf diesen

allgemeinen Fall. Das heißt, in diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnisse, die wir zur

Stabilitätsanalyse aus dem linearen Fall erhalten haben, versuchen zu übertragen auf einen allgemeinen

Fall von nicht-linearen Differentialgleichungen und wir werden das Ganze über eine sogenannte

Linearisierung versuchen. Das heißt, wir werden annehmen, dass um die Ruhelage herum wir die Lösung

der Differentialgleichung linear beschreiben können. Dann machen wir zwar einen Fehler, aber wir werden

sehen in den folgenden Videos, dass wenn der Fehler klein genug ist und wir nahe genug an der Ruhelage

sind, dann können wir dennoch davon ausgehen, dass wir anhand der Linearisierung Aussagen zur

Stabilität der Ruhelage treffen können. Wie gesagt betrachten wir jetzt im Folgenden immer nur noch

ein allgemeines Differentialgleichungssystem erster Ordnung und deswegen werden wir ein

bisschen anderes Anfangswertproblem formulieren müssen. Das heißt, wir betrachten im Folgenden

das Anfangswertproblem

eines allgemeinen Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Ich kürze das ab mit DGL-System.

Erster Ordnung und zwar auf dem Phasenraum, den wir wieder mit U bezeichnen.

Der ist wieder mit Teilmenge des Rn und es muss nicht notwendigerweise linear sein, sonst könnten wir

einfach das Ergebnis aus dem letzten Video anwenden. Und für ein vorgegebenes Vektorfeld,

das wird die rechte Seite sein unseres Differentialgleichungssystems, das wollen wir

groß F nennen. Für ein Vektorfeld groß F mit Werten in R hoch N und wir wollen, dass es stetig

differenzierbar ist. Das heißt, wir sind in C1 auf dem Phasenraum mit Werten in R hoch N.

Das heißt, wir betrachten für solche eine rechte Seite das folgende Anfangswertproblem.

Zuerst einmal die Differentialgleichung, die wir lösen wollen. Wir haben gesagt erster Ordnung,

das heißt, wir schauen uns einfach an die Zeitableitung der unbekannten Funktion x

zum Zeitpunkt t. Die soll eben gleich dem Vektorfeld sein, der rechten Seite. Das ist groß F von xt und

wir stellen fest, dass die Funktion f selber nicht von t abhängt. Das heißt, wir haben es hier mit

einem autonomen Differentialgleichungssystem zu tun, das wir immer brauchen für dynamische Systeme.

Das soll gelten für alle t aus einem Zeitintervall i Teilmenge von R0 plus, also nicht negativen Zahlen.

Wir werden im Folgenden auch immer davon ausgehen, dass unser Intervall bei der Null beginnt. Das

heißt, dass unser Anfangswert immer in der Null gegeben ist, denn das macht einiges leichter. Das

heißt, wir gehen jetzt einfach davon aus, dass der erste Startzeitpunkt immer die Null ist und nicht

irgendein beliebiges t0. Das werden die Formeln komplizierter. Dementsprechend brauchen wir

noch eine Anfangswertbedingung, das heißt x in Null, also nicht t0, sondern Null, nehmen wir

einfach mal ohne Beschränkung der Allgemeinheit an. Das sei ein Wert x0. Das ist jetzt sozusagen

unser Anfangswertproblem und wir wollen jetzt mal uns eine beliebige Ruhelage anschauen, falls sie

dann existiert. Wir nehmen an, dass es einen Punkt gibt, den nennen wir xf, also in Abhängigkeit des

Vektorfeldes aus dem Phasenraum eine Ruhelage des dynamischen Systems ist. Des dynamischen Systems

ist und dementsprechend, das haben wir in einem der vorigen Videos schon gesehen, da wir eine

autonome Differentialgleichung betrachten, heißt das, dass sich die Zeitableitung in diesem Punkt

nicht ändert, wenn wir den nehmen würden und das heißt insbesondere, dass die rechte Seite der

Differentialgleichung Null ist. Das heißt also, diese Ruhelage ist eine Nullstelle des Vektorfelds f

und dementsprechend muss gelten, dass f von diesem Punkt xf gerade Null ist, also haben wir eine